Funciones y gráficas
Observación. Un par ordenado $(a,b)$ es estándar si y sólo si sus componentes $a$ y $b$ son estándar. Más generalmente, una $n$-eada $(a_1,\ldots,a_n)$ es estándar precisamente cuando $n$ es estándar y todos sus componentes $a_i$ son estándar.
En efecto, en (ZF) un par ordenado $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$, así que si $(a,b)$ es estándar entonces, como $\{\{a\},\{a,b\}\}$ es estándar y finito, todos sus elementos son estándar: $\{a\},\{a,b\}$, los cuales son finitos, así que $a$ y $b$ son estándar.
Recíprocamente, si $a$ y $b$ son estándar, entonces claramente $\{\{a\},\{a,b\}\}$ es estándar.
La equivalencia anterior también se puede hacer de la siguiente manera. Considérese la fórmula $$F(x,a,b)=\forall\,y\;(y\in x\Leftrightarrow y=\{a\}\vee y=\{a,b\}).$$ Así que, por transferencia dual, si $a,b$ son estándar entonces $(a,b)$ también.
Recíprocamente, supongamos que $(a,b)$ es estándar. Consideremos las fórmulas \begin{align} F(x)&=\forall\,y\;(y\in (a,b)\Rightarrow x\in y)\notag\\ G(x)&=\exists\,y\;(y\in (a,b) \wedge x\in y)\wedge\exists\,z\;(z\in (a,b)\wedge x\notin z)\notag. \end{align} El único elemento que satisface $F$ es $a$ y el único que satisface $G$ es $b$, así que $a$ y $b$ son estándar por transferenica dual.
Ambos argumentos se pueden repetir para $n\in\mathbb{N}$ estándar. Notemos que si $(1,\ldots,1)$ es una $n$-eada estándar, entonces $n$ es estándar, pues $n$, el número de componentes de una $n$-eada, está clásicamente determinado de manera única: si $(a_1,\ldots,a_n)=(b_1,\ldots,b_m)$, se tiene que tener que $n=m$ y $a_i=b_i$ para todo $1\leq i \leq n$.
Observación. En (ZF) una función $f:E\rightarrow F$ se identifica con una tripleta $(E,G(f),F)$, donde $G(f)$ es la gráfica de $f$, definida como $$G(f):=\{(x,y)\in E\times F\mid y=f(x)\}\subseteq E\times F.$$ Por lo tanto, $f=(E,G,F)$ es una función estándar si y sólo si$E,F,G$ son estándar.
Ejemplo. Sean $E$ y $F$ conjuntos estándar. Entonces, la proyección $p_E:E\times F\rightarrow E$ es estándar. En efecto, como $E$ y $F$ son estándar, por transferencia, $E\times F$ también. Ahora consideremos la fórmula $$H(x,E,F)=\forall\, z\;[z\in x\Leftrightarrow\exists\,u\in E\;\exists\,v\in F\;[z=((u,v),u)]].$$ Así que, por transferencia, la gráfica $G(p_E)$ de $p_E$ es estándar. Por lo tanto, $p_E$ también lo es.
Proposición. Sean $f:E\rightarrow F$ y $x\in E$ estándar. Entonces $f(x)$ es estándar.
Demostración La intersección de los conjuntos estándar $\{x\}\times F$ y $G(f)$, que consiste en el singulete $\{(x,f(x)\}$, es estándar. Tal singulete es finito y estándar, así que $(x,f(x))$ es estándar y, por lo tanto, $f(x)$ es estándar.
Proposición. Si $f,g:E\rightarrow F$ son dos funciones estándar tales que $\forall^e\,x\;f(x)=g(x)$, entonces $f=g$.
Demostración. Transferencia.
Observación. Una función estándar bien podría tomar valores no-estándar; de hecho, necesariamente para valores no-estándar de su dominio). Por ejemplo, la función identidad $1_{\mathbb{N}}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ es estándar y tiene valores no-estándar para los elementos no-estándar de $\mathbb{N}$.
También podría pasar que una función estándar tenga valores estándar para elementos no-estándar. Consideremos una función constante con constante estándar.
Definición implícita de una función estándar
Observación. Si $G$ es subconjunto de $E\times F$ que es una gráfica funcional entonces $G$ está caracterizado por la propiedad $$\forall\,x\in E\quad \mathrm{Card}(G\cap\{x\}\times F)=1.$$ Si $E,F,G$ son estándar entonces la condicián anterior es cierta, por transferencia, si la condición se cumple para todo estándar $x$. Así que se pueden definir funciones estándar como sigue. Supóngase que una relación $R$ (clásica o no) dada entre dos conjuntos estándar $E$ y $F$ tiene la propiedad de que $$\forall^e\,x\in E\;\exists^e\,y\in F\;R(x,y).$$ Entonces podemos formar el conjunto $$G:=^e\{(x,y)\in E\times F\mid R(x,y)\}.$$ Este es estándar, por estandarización, y es una gráfica funcional, pues $$\forall\,^e\,a\in E\;\mathrm{Card}(G\cap\{a\}\times F)=1$$ y, por transferencia, $$\forall\,a\in E\;\mathrm{Card}(G\cap\{a\}\times F)=1\quad\text{(los parámetros $G$ y $F$ son estándar)}.$$ En este caso se dice que $R$ define implícitamente la función $f=(E,G,F)$.
Hay que tener cuidado de que si $R$ no es clásica entonces no siempre se cumple $R(x,f(x))$, y que si se cumple $R(x,y)$, no necesariamente $y=f(x)$. Sin embargo, es cierto que si $x$ es estándar entonces $y=f(x)$ se caracteriza por el hecho de que $R(x,y)$.
Principio de la definición implícita de funciones. Sean $E$ y $F$ dos conjuntos estándar. Entonces si una construcción (clásica o no) permite definir para cada estándar $x\in E$ un elemento estándar bien definido $y_x\in F$, entonces existe una única función estándar $f:E\rightarrow F$ tal que $f(x)=y_x$ para todo estándar $x\in E$.
En particular, si una construcción (clásica o no) asigna, para cada natural estándar $n\in\mathbb{N}$, un elemento estándar $a_n\in E$ (de algún conjunto fijo estándar $E$), entonces existe una única sucesión estándar $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ que toma los valores prescritos para los naturales estándar $n\in\mathbb{N}$.
Ejemplo. Consideremos la función \begin{align} f:\mathbb{N}&\rightarrow\mathcal{P}(\mathbb{N})\notag\\ n&\mapsto I_{n+1}\notag. \end{align} Dicha función es estándar, pues está determinada de manera única dentro de (ZF): $$G(f)=\{z\mid\exists\,n\in\mathbb{N}\;z=(n,I_{n+1})\}.$$ Ahora, tenemos que $1_{\mathbb{N}}$ es estándar, así que $(n)_{n\in\mathbb{N}}\in\prod_{n\in\mathbb{N}}I_{n+1}$ es estándar. Sea $m\in\mathbb{N}$ no-estándar. Entonces tenemos que si $$p_m:\prod_{n\in\mathbb{N}}I_{n+1}\rightarrow I_{m+1}$$ es la $m$-ésima proyección, $$p_m((n)_{n\in\mathbb{N}})=m.$$ Por lo tanto, $p_m$ no es estándar para $m\in\mathbb{N}$ no-estándar, a pesar de que la familia de conjuntos $(I_{n+1})_{n\in\mathbb{N}}$ es estándar ($n\mapsto I_{n+1}$ es estándar).
En la p. 27 de su libro Nonstandard Analysis, Alain M. Robert afirma: “si $(E_i)$ es una familia estándar de conjuntos (es decir, la función $i\mapsto E_i$ es estándar), todas las proyecciones $p_j:\prod E_i\rightarrow E_j$ son estándar”. El ejemplo anterior muestra que su afirmación es falsa.
Relativización
Definición. Dadas dos fórmulas $F$ y $G$, diremos que $F$ es débilmente equivalente a $G$ (lo cual denotaremos como $F\equiv G$) si y sólo si para todos los valores estándar de las variables libres en las fórmulas, tenemos que $F\Leftrightarrow G$.
Observación. Las dos formas de (T) se pueden reescribir como $\forall^e\,x\;F\equiv\forall\,x\;E$ y $\exists^e\,x\;F\equiv\exists\,x\;F$, siempre que $F$ sea una fórmula clásica.
Definición. Sea $F$ una fórmula clásica. Las reglas anteriores se pueden aplicar repetidamente, así que $F$ es débilmente equivalente a la fórmula $F^e$, la cual se obtiene al reemplazar cada $\forall$ por $\forall^e$ y cada $\exists$ por $\exists^e$. Entonces ‘si $t_1,\ldots,t_n$ son estándar entonces se cumple $F^e$’, donde $t_1,\ldots,t_n$ son las variables libres en $F$, es llamada la relativización de $F$ a los conjuntos estándar.
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