No me había dado cuenta de (o no sabía) que estos conceptos pudieran estar relacionados...
Una relación $R$ sobre un conjunto $X$ se dice que está bien fundada si todo subconjunto no vacío $Y$ de $X$ tiene un elemento $R$-minimal; es decir, si $$\forall Y\subseteq X[Y\neq\emptyset\Rightarrow\exists m\in Y\neg\exists y\in Y (yRm)].$$ Se tiene que para todo conjunto totalmente ordenado finito $(X,\leq)$, la relación $<$ está bien fundada. Asimismo, la relación $<$ sobre $\mathbb{N}$; a esto se le conoce como el principio del buen orden para los números naturales. En general, un conjunto totalmente ordenado $(X,\leq)$ está bien ordenado si y sólo si su relación $<$ está bien fundada. Notemos que en todo conjunto bien ordenado no hay sucesiones estrictamente decrecientes.
Ahora, por otro lado, siguiendo con la noción de relación bien fundada, se tiene que la relación $\in$ está bien fundada sobre todo conjunto no vacío $X$, y esto se sigue del axioma de fundación o regularidad, el cual dice lo siguiente.
Axioma de fundación o regularidad. $$\forall x[\exists y(y\in x)\Rightarrow\exists y[y\in x\wedge\neg\exists z(z\in x\wedge z\in y)]].$$ En otras palabras, todo conjunto no vacío $x$ tiene un elemento $y$ con el cual no comparte elementos; es decir, $y$ es un elemento $\in$-minimal.
Este axioma tiene las siguientes dos consecuencias:
T1. Para todo conjunto $x$ se tiene que $x\notin x$.
En efecto, supóngase que existe un conjunto $t$ tal que $t\in t$. Sea $x:=\{t\}$. Se tiene que $t\in x$, y es su único elemento. Por otro lado, $t$ tiene un elemento que comparte con $x$; a saber, $t$ !! (contradicción).
T2. No existe ninguna sucesión $\in$-decreciente infinita de conjuntos. Es decir, no existe ninguna sucesión $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de conjuntos tal que $x_{n+1}\in x_n$ para todo $n\in\mathbb{N}$.
En efecto, supóngase que tal sucesión existe. Sea entonces $X:=\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ (y $X$ es conjunto por el esquema axiomático de reemplazo). Dado cualquier $x_n\in X$, se tiene que $x_{n+1}\in X$ y $x_{n+1}\in x_n$!!
...Ahora me acabo de acodar del axioma de antifundación...
Una relación $R$ sobre un conjunto $X$ se dice que está bien fundada si todo subconjunto no vacío $Y$ de $X$ tiene un elemento $R$-minimal; es decir, si $$\forall Y\subseteq X[Y\neq\emptyset\Rightarrow\exists m\in Y\neg\exists y\in Y (yRm)].$$ Se tiene que para todo conjunto totalmente ordenado finito $(X,\leq)$, la relación $<$ está bien fundada. Asimismo, la relación $<$ sobre $\mathbb{N}$; a esto se le conoce como el principio del buen orden para los números naturales. En general, un conjunto totalmente ordenado $(X,\leq)$ está bien ordenado si y sólo si su relación $<$ está bien fundada. Notemos que en todo conjunto bien ordenado no hay sucesiones estrictamente decrecientes.
Ahora, por otro lado, siguiendo con la noción de relación bien fundada, se tiene que la relación $\in$ está bien fundada sobre todo conjunto no vacío $X$, y esto se sigue del axioma de fundación o regularidad, el cual dice lo siguiente.
Axioma de fundación o regularidad. $$\forall x[\exists y(y\in x)\Rightarrow\exists y[y\in x\wedge\neg\exists z(z\in x\wedge z\in y)]].$$ En otras palabras, todo conjunto no vacío $x$ tiene un elemento $y$ con el cual no comparte elementos; es decir, $y$ es un elemento $\in$-minimal.
Este axioma tiene las siguientes dos consecuencias:
T1. Para todo conjunto $x$ se tiene que $x\notin x$.
En efecto, supóngase que existe un conjunto $t$ tal que $t\in t$. Sea $x:=\{t\}$. Se tiene que $t\in x$, y es su único elemento. Por otro lado, $t$ tiene un elemento que comparte con $x$; a saber, $t$ !! (contradicción).
T2. No existe ninguna sucesión $\in$-decreciente infinita de conjuntos. Es decir, no existe ninguna sucesión $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de conjuntos tal que $x_{n+1}\in x_n$ para todo $n\in\mathbb{N}$.
En efecto, supóngase que tal sucesión existe. Sea entonces $X:=\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ (y $X$ es conjunto por el esquema axiomático de reemplazo). Dado cualquier $x_n\in X$, se tiene que $x_{n+1}\in X$ y $x_{n+1}\in x_n$!!
...Ahora me acabo de acodar del axioma de antifundación...
